使用 python 和 numpy 进行梯度下降-IT科技

摘要：问题描述：def gradient(X_norm,y,theta,alpha,m,n,num_it): temp=np.array(np.zeros_like(theta,float)) for i in range(0,num_it): h=np.dot(X_norm,the...

问题描述：

def gradient(X_norm,y,theta,alpha,m,n,num_it):
    temp=np.array(np.zeros_like(theta,float))
    for i in range(0,num_it):
        h=np.dot(X_norm,theta)
        #temp[j]=theta[j]-(alpha/m)*(  np.sum( (h-y)*X_norm[:,j][np.newaxis,:] )  )
        temp[0]=theta[0]-(alpha/m)*(np.sum(h-y))
        temp[1]=theta[1]-(alpha/m)*(np.sum((h-y)*X_norm[:,1]))
        theta=temp
    return theta



X_norm,mean,std=featureScale(X)
#length of X (number of rows)
m=len(X)
X_norm=np.array([np.ones(m),X_norm])
n,m=np.shape(X_norm)
num_it=1500
alpha=0.01
theta=np.zeros(n,float)[:,np.newaxis]
X_norm=X_norm.transpose()
theta=gradient(X_norm,y,theta,alpha,m,n,num_it)
print theta

我从上面的代码中得到的 theta 是100.2 100.2，但它应该100.2 61.09在 matlab 中是正确的。

解决方案 1：

我认为您的代码有点太复杂了，需要更多的结构，否则您将迷失在所有方程式和运算中。最后，这个回归归结为四个运算：

计算假设 h = X * theta
计算损失 = h - y 以及平方成本 (loss^2)/2m
计算梯度 = X' * loss / m
更新参数 theta = theta - alpha * gradient

就你的情况而言，我猜你m对感到困惑了n。这里m表示训练集中的示例数量，而不是特征数量。

让我们看一下我的代码变体：

import numpy as np
import random

# m denotes the number of examples here, not the number of features
def gradientDescent(x, y, theta, alpha, m, numIterations):
    xTrans = x.transpose()
    for i in range(0, numIterations):
        hypothesis = np.dot(x, theta)
        loss = hypothesis - y
        # avg cost per example (the 2 in 2*m doesn't really matter here.
        # But to be consistent with the gradient, I include it)
        cost = np.sum(loss ** 2) / (2 * m)
        print("Iteration %d | Cost: %f" % (i, cost))
        # avg gradient per example
        gradient = np.dot(xTrans, loss) / m
        # update
        theta = theta - alpha * gradient
    return theta


def genData(numPoints, bias, variance):
    x = np.zeros(shape=(numPoints, 2))
    y = np.zeros(shape=numPoints)
    # basically a straight line
    for i in range(0, numPoints):
        # bias feature
        x[i][0] = 1
        x[i][1] = i
        # our target variable
        y[i] = (i + bias) + random.uniform(0, 1) * variance
    return x, y

# gen 100 points with a bias of 25 and 10 variance as a bit of noise
x, y = genData(100, 25, 10)
m, n = np.shape(x)
numIterations= 100000
alpha = 0.0005
theta = np.ones(n)
theta = gradientDescent(x, y, theta, alpha, m, numIterations)
print(theta)

首先，我创建一个小的随机数据集，它看起来像这样：

线性回归

如您所见，我还添加了由 Excel 计算的生成的回归线和公式。

您需要注意使用梯度下降进行回归的直觉。当您对数据 X 进行完整的批量传递时，您需要将每个示例的 m 损失减少到单个权重更新。在这种情况下，这是梯度总和的平均值，因此除以m。

接下来你需要关注的是跟踪收敛并调整学习率。为此，你应该始终跟踪每次迭代的成本，甚至可以绘制成本图。

如果你运行我的示例，返回的 theta 将如下所示：

Iteration 99997 | Cost: 47883.706462
Iteration 99998 | Cost: 47883.706462
Iteration 99999 | Cost: 47883.706462
[ 29.25567368   1.01108458]

这实际上非常接近 Excel 计算出的方程 (y = x + 30)。请注意，当我们将偏差传递到第一列时，第一个 theta 值表示偏差权重。

解决方案 2：

下面您可以找到我针对线性回归问题的梯度下降的实现。

首先，计算梯度X.T * (X * w - y) / N，并同时用该梯度更新当前的 theta。

X：特征矩阵
y：目标值
w：权重/值
N：训练集的大小

以下是 Python 代码：

import pandas as pd
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import random

def generateSample(N, variance=100):
    X = np.matrix(range(N)).T + 1
    Y = np.matrix([random.random() * variance + i * 10 + 900 for i in range(len(X))]).T
    return X, Y

def fitModel_gradient(x, y):
    N = len(x)
    w = np.zeros((x.shape[1], 1))
    eta = 0.0001

    maxIteration = 100000
    for i in range(maxIteration):
        error = x * w - y
        gradient = x.T * error / N
        w = w - eta * gradient
    return w

def plotModel(x, y, w):
    plt.plot(x[:,1], y, "x")
    plt.plot(x[:,1], x * w, "r-")
    plt.show()

def test(N, variance, modelFunction):
    X, Y = generateSample(N, variance)
    X = np.hstack([np.matrix(np.ones(len(X))).T, X])
    w = modelFunction(X, Y)
    plotModel(X, Y, w)


test(50, 600, fitModel_gradient)
test(50, 1000, fitModel_gradient)
test(100, 200, fitModel_gradient)

测试1
测试2
测试2

解决方案 3：

大多数答案都缺少一些关于线性回归的解释，而且在我看来代码有点复杂。

问题是，如果您有一个包含“m”个样本的数据集，每个样本称为“x^i”（n 维向量），以及一个结果向量 y（m 维向量），那么您可以构建以下矩阵：

梯度下降输入

现在，目标是找到“w”（n+1 维向量），它描述线性回归的直线，“w_0”是常数项，“w_1”等等是输入样本中每个维度（特征）的系数。因此，本质上，您要找到“w”，使得“X*w”尽可能接近“y”，即您的直线预测将尽可能接近原始结果。

还请注意，我们在每个“x^i”的开头添加了一个额外的组件/维度，即“1”，以解释常数项。此外，“X”只是通过将每个结果“堆叠”为一行而得到的矩阵，因此它是一个 (m x n+1) 矩阵。

一旦构建了它，梯度下降的 Python 和 Numpy 代码实际上非常简单：

def descent(X, y, learning_rate = 0.001, iters = 100):
    w = np.zeros((X.shape[1], 1))
    for i in range(iters):
        grad_vec = -(X.T).dot(y - X.dot(w))
        w = w - learning_rate*grad_vec
    return w

瞧！这将返回向量“w”，即预测线的描述。

但它是如何工作的呢？
在上面的代码中，我找到了成本函数的梯度向量（在本例中是平方差），然后我们“逆流而上”，找到最佳“w”给出的最小成本。实际使用的公式如下

grad_vec = -(X.T).dot(y - X.dot(w))

有关完整的数学解释和代码（包括矩阵创建），请参阅有关如何在 Python 中实现梯度下降的文章。

编辑：为了说明起见，上面的代码估计了一条可用于进行预测的线。下图显示了“学习”梯度下降线（红色）的示例，以及来自 Kaggle 的“鱼市”数据集的原始数据样本（蓝色散点）。

在此处输入图片描述

解决方案 4：

我知道这个问题已经有答案了，但我对 GD 函数做了一些更新：

### COST FUNCTION

def cost(theta,X,y):
     ### Evaluate half MSE (Mean square error)
     m = len(y)
     error = np.dot(X,theta) - y
     J = np.sum(error ** 2)/(2*m)
     return J

cost(theta,X,y)



def GD(X,y,theta,alpha):
    
    cost_histo = [0]
    theta_histo = [0]

    # an arbitrary gradient, to pass the initial while() check
    delta = [np.repeat(1,len(X))]
    # Initial theta
    old_cost = cost(theta,X,y)

    while (np.max(np.abs(delta)) > 1e-6):
        error = np.dot(X,theta) - y
        delta = np.dot(np.transpose(X),error)/len(y)
        trial_theta = theta - alpha * delta
        trial_cost = cost(trial_theta,X,y)
        while (trial_cost >= old_cost):
            trial_theta = (theta +trial_theta)/2
            trial_cost = cost(trial_theta,X,y)
            cost_histo = cost_histo + trial_cost
            theta_histo = theta_histo +  trial_theta
        old_cost = trial_cost
        theta = trial_theta
    Intercept = theta[0] 
    Slope = theta[1]  
    return [Intercept,Slope]
 
res = GD(X,y,theta,alpha)

此函数在迭代过程中降低了 alpha 值，使得函数收敛得更快（有关 R 中的使用梯度下降（最速下降）估计线性回归的示例，请参见。我在 Python 中应用了相同的逻辑。

解决方案 5：

按照 @thomas-jungblut 在 Python 中的实现，我对 Octave 做了同样的事情。如果您发现错误，请告诉我，我会修复并更新。

数据来自具有以下行的 txt 文件：

可以将其视为特征 [卧室数量] [mts2] 和最后一列 [租金价格] 的非常粗略的样本，这正是我们想要预测的。

以下是 Octave 的实现：

%
% Linear Regression with multiple variables
%

% Alpha for learning curve
alphaNum = 0.0005;

% Number of features
n = 2;

% Number of iterations for Gradient Descent algorithm
iterations = 10000

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% No need to update after here
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

DATA = load('CHANGE_WITH_DATA_FILE_PATH');

% Initial theta values
theta = ones(n + 1, 1);

% Number of training samples
m = length(DATA(:, 1));

% X with one mor column (x0 filled with '1's)
X = ones(m, 1);
for i = 1:n
  X = [X, DATA(:,i)];
endfor

% Expected data must go always in the last column  
y = DATA(:, n + 1)

function gradientDescent(x, y, theta, alphaNum, iterations)
  iterations = [];
  costs = [];

  m = length(y);

  for iteration = 1:10000
    hypothesis = x * theta;

    loss = hypothesis - y;

    % J(theta)    
    cost = sum(loss.^2) / (2 * m);

    % Save for the graphic to see if the algorithm did work
    iterations = [iterations, iteration];
    costs = [costs, cost];

    gradient = (x' * loss) / m; % /m is for the average

    theta = theta - (alphaNum * gradient);
  endfor    

  % Show final theta values
  display(theta)

  % Show J(theta) graphic evolution to check it worked, tendency must be zero
  plot(iterations, costs);

endfunction

% Execute gradient descent
gradientDescent(X, y, theta, alphaNum, iterations);

解决方案 6：

这里展示了 GD 与稳健线性回归解决方案autograd的比较sklearn

#-------------------------------------------------------------------------------
# Name:        grad_intro
# Purpose:     1. Gradients Introduction
# Author: https://www.tomasbeuzen.com/deep-learning-with-pytorch/chapters/appendixC_computing-derivatives.html
#-------------------------------------------------------------------------------
import numpy as np
import sklearn
import sklearn.linear_model
import scipy.optimize
from scipy.optimize import minimize
import autograd # pip install autograd
from autograd import grad
import autograd.numpy as anp

## try robust regression with the Huber loss

d = 10
n = 1000    # !!!!!!!!!! the bigger - the better

# generate random data
X = anp.random.randn(n, d)
w_true = anp.random.randn(d)
y = X @ w_true
# add random outliers
Noutliers = 50
y[:Noutliers] += 100 * anp.random.randn(Noutliers)
print(w_true, '
')

############################

from sklearn.linear_model import HuberRegressor

hr = HuberRegressor(fit_intercept=False, alpha=0)
hr.fit(X, y)
print(hr.coef_, '
')

############################

huber = lambda z: 0.5 * z ** 2 * (anp.abs(z) <= 1) + (anp.abs(z) - 0.5) * (anp.abs(z) > 1)
f = lambda w: anp.sum(huber(X @ w - y))

df_dw = grad(f) # differentiate through matrix multiplications, etc.
w = np.zeros(d)
alpha = 0.001
while anp.linalg.norm(df_dw(w)) > 0.0001:   # <<<<<<<< G.D.
    w -= alpha * df_dw(w)

print(w)